RINI AMELIA TANJUNG

HIPERBOLA

A. Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. ( TF₂ –TF₁ = k )

Hiperbola dan elips memiliki hubungan yang sangat erat, khususnya pada bentuk persamaannya. Hiperbola dan elips, adalah hasil dari suatu pengirisan dari kerucut. Suatu kerucut jika diiris horizontal, maka irisannya berbentuk lingkaran. Jika kerucut tersebut dipotong secara miring (dan tidak memotong alasnya), maka terbentuk suatu ellips. Jika mengirisnya memotong alasnya dan memotongnya secara vertikal, maka terbentuk suatu hiperbola.

Hiperbola yang mempunyai persamaan paling sederhana :

Cara menggambar grafik dari suatu hiperbola

Contohnya saja gambar grafik dari persamaan : $\frac{x^2}{16}+ \frac{y^2}{9}=1$

http://asimtot.files.wordpress.com/2011/09/hiperbola1.jpg?w=351&h=248

Ketika y=0, maka $\frac{x^2}{16}=1$ sehingga $x= \pm 4$

http://asimtot.files.wordpress.com/2011/09/hiperbola2.jpg?w=600&h=438

$\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$

Ketika y=0, maka $x= \pm a$ , a inilah yang disebut sebagai puncak.

persamaan hiperbola dalam x, maka :

$\frac{x^2}{a^2}- 1= \frac{y^2}{b^2}$

$\frac{(x^2-a^2)(b^2)}{a^2}=y^2$

$\pm \sqrt{\frac{(x^2-a^2)(b^2)}{a^2}}=y$

$y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$

Untuk nilai x yang besar, $\sqrt{x^2-a^2}$ bersifat seperti x, yaitu jika $x \to \infty$ maka $\sqrt{x^2-a^2}-x \to 0$ . Sehingga y bersifat :

$y= \frac{b}{a}x$ atau $y=- \frac{b}{a}x$

Dua garis tersebut adalah asimtot dari grafik persamaan hiperbola.

perhatikan segitiga dengan sisi a, b dan c pada gambar. Sehingga berlaku

, koordinat titik fokusnya yaitu (c,0)

CONTOH SOAL :

1.Tentukan kedua titik fokus dari hiperbola : $\frac{x^2}{16}- \frac{y^2}{9}=1$

Jawab :

$\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$

Dari persamaan umumnya, maka diperoleh a=4 dan b=3.

Nilai c ditentukan dengan rumus

, sehingga c=5.

Sehingga koordinat titik fokus dari hiperbola tersebut adalah

2. Tentukan garis asimtot dari hiperbola : $\frac{x^2}{16}- \frac{y^2}{9}=1$

Jawab :

$\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$

Dari persamaan umumnya, maka kita peroleh a=4 dan b=3. Kedua asimtotnya dikenal sebagai $y= \pm \frac{b}{a}x$ , maka kita peroleh kedua asimtotnya adalah $y= \pm \frac{3}{4}x$

3. Soal untuk hiperbola vertikal.

Tentukan kedua titik puncak, titik fokus dan garis asimtot untuk hiperbola : $\frac{y^2}{16}- \frac{x^2}{9}=1$ atau bisa juga dituliskan : $- \frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{16}=1$

Jawab :

Jika y=0, maka tidak mungkin menemukan nilai x. karena bentuk $- \frac{x^2}{9}=1$ adalah tidak akan terpenuhi untuk x berapapun.

Jika kita ambil x=0, maka dapatkan y=4. Inilah puncaknya.

Perhatikan persamaan umum yang digunakan : $\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$

(a itu miliknya x, berada di bawah (sebagai penyebut) dari x dan b itu miliknya y, berada di bawah (sebagai penyebut) dari y)

Sehingga, untuk soal : $- \frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{16}=1$

Kita dapatkan a=3 dan b=4

Sehingga garis asimtotnya pun adalah $y= \pm \frac{4}{3}x$

Untuk mencari titik fokus, kita perlu mencari c, c itu sama dengan 5. Karena hiperbola vertikal, maka koordinat titik c adalah $(0, \pm c)$ yaitu sama dengan $(0, \pm 5)$

Persamaan Hiperbola

. Jika persamaan Hiperbola:

, berarti:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8xWs-hMaVQdEl0qb534MiGaoa_1dwjs3IZo7FWHQXTecMYslLmpBegVflorzFhl63qCTBlnEij5h1TVz5_EUFUS5qS7aGgPcNnyte_jb0ML0Lb9emzWmZNiNtNTP0P-aiQwJf7ee2d0A/s320/anp+7.png

1. Pusat O (0,0)

2. Fokus F₁ (– c ,0) dan F₂ (c,0).

3. Titik Puncak A (–a,0 dan B (a,0).

4. AB = sumbu nyata = 2a.

CD = sumbu imajiner = 2b.

5. Sumbu utama adalah sumbu X .

Sumbu sekawan adalah sumbu Y.

6. Persamaan direktris

7. Panjang Latus Rectum = KL = MN

8. Asimtot

9. Hubungan a, b, dan c adalah:

10. Eksentrisitas (e) adalah (e>1)

11. Persamaan garis singgung bergradien m

II. Jika persamaan Hiperbola:

maka:

1. Pusat di (p,q).

2. Fokus F₁ (p – c, q) dan F₂ (p + c, q) .

3. Puncak A(p – a, q) dan B(p + a, q)

4. Sumbu utama adalah y = q

Sumbu sekawan adalah x = p

5. Sumbu nyata AB = 2a

Sumbu imajiner CD = 2b

6. Persamaan direktris

7. Panjang Latus rectum

8. Asimtot

10. Eksentrisitas (e),

dengan e > 1

A. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )

Menggambar Grafik Hiperbola Pusat

Gambarlah grafik persamaan 9x² – 16y² = 144 dengan menggunakan perpotongan kurva dan beberapa titik tambahan jika diperlukan.

Pembahasan Dengan substitusi x = 0, kita akan menentukan perpotongan kurva tersebut dengan sumbu-y.

Karena nilai y² tidak pernah negatif, kita dapat menyimpulkan bahwa kurva tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y. Selanjutnya, kita substitusi y = 0 untuk menentukan titik potongnya terhadap sumbu-x.

Dengan mengetahui bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y, kita pilih nilai x yang lebih dari 4 dan kurang dari –4 untuk membantu sketsa grafik tersebut. Dengan menggunakan x = 5 dan x = –5 menghasilkan,

Dengan memplot titik-titik yang telah kita temukan di atas kemudian menghubungkannya dengan kurva halus, dan karena kurva tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y, maka grafik dari persamaan yang diberikan dapat digambarkan sebagai berikut.

Karena hiperbola di atas memotong sumbu simetri horizontalnya, maka hiperbola di atas disebut sebagai hiperbola horizontal. Titik-titik (4, 0) dan (–4, 0) disebut sebagai titik-titik puncak, dan titik pusat dari hiperbola selalu berada di tengah-tengah titik puncak parabola tersebut. Jika titik pusat hiperbola berada pada titik (0, 0), maka hiperbola tersebut disebut sebagai hiperbola pusat. Sebagai catatan, titik pusat hiperbola bukan merupakan bagian dari kurva, sehingga titik pusat hiperbola di atas, titik yang berwarna biru, digambarkan sebagai titik yang terbuka. Garis yang melewati titik pusat dan titik-titik puncak hiperbola disebut sebagai sumbu transversal, sedangkan garis yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu transversal ini disebut sebagai sumbu konjugasi.

Pada contoh 1, koefisien dari x² merupakan bilangan yang positif kemudian dikurangkan dengan 16y²: 9x² – 16y² = 144. Hasil yang diperoleh merupakan hiperbola horizontal. Jika suku-y² positif kemudian dikurangkan dengan suku yang memuat x², hasilnya merupakan suatu hiperbola vertikal. Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

1.Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah

Dengan : – a2 + b2 = c2
– Pusat ( 0,0 )
– Titik fokus F1( -c,0 ) & F2 ( c,0 )
– Titik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )
– Panjang sumbu mayor = 2a
– Panjang sumbu minor = 2b
– Persamaan asimptot :
– Persamaan direktriks :
– Eksentrisitas:
– Panjang lactus rectum

2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :

Dengan :
– Pusat O( 0,0 )
– Titik fokus F1( 0,-c ) & F2 ( 0,c )
– Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )
– Panjang sumbu mayor = 2a
– Panjang sumbu minor = 2b
– Persamaan asimptot :
– Persamaan direktriks :
– panjang lactus rectum : = 2 b2/a

Contoh 1 :
Diketahui persamaan hiperbola , tentukan :
a. Koordinat titik puncak
b. Koordinat titik fokus
c. Persamaan asimptot
d. Persamaan direktriks
e. Eksentrisitas
f. Panjang lactus rectum

Jawab :
b=3àa=4 dan b2=9 àDari persamaan hiperbola , diperoleh a2=16

a. koordinat titik puncak : ( – a, 0 ) = ( – 4,0) & ( a,0 ) = (4,0)
b. koordinat titik fokus : ( – c, 0 ) = ( -5,0 ) & ( c,0 ) = ( 5,0 )
c. persamaan asimptot :
d. persamaan direktriks :
e. eksentrisitas :
f. panjang lactus rectum

Contoh 2 :

Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya (0,5) & (0,-5).
Jawab :
Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5)
diperoleh c = 5.

Dengan :
– Titik Pusat ( α, β )
– Titik fokus F1( α , β – c ) & F2 ( α, β + c )
– Titik puncak ( α , β – a ) & ( α, β + a )
– Panjang sumbu mayor = 2a
– Panjang sumbu minor = 2b
– Persamaan asimptot :
– Persamaan direktriks :

Contoh 3 :
Diketahui persamaan hiperbola . Tentukan:
a. koordinat titik pusat
b. koordinat titik puncak
c. koordinat titik fokus
d. persamaan asimptot
e. persamaan direktriks

Jawab :

Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku
àDari persamaan diatas, diperoleh , a2=9, maka a=3 dan b2=12, maka b= ,
c. Koordinat titik pusat ( α, β )=(-3,3)
d. Koordinat titik puncak ( α – a, β )=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-3 )=(0,-3)
e. Koordinat titik fokus : F1( α – c, β )=( -3- ,3 ) & F2 ( α + c, β )=( -3+ , 3 )

Persamaan Garis Singgung Hiperbola

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbLBhyphenhyphen3vmTJuhZPntbWy3ahRDmhOH2TX8UnA-v0AEK24O5hqvvHujQCU9eOUR6-GwTw4kSkjAeG_GnmJTe8hpqO1GcQPwdEEXutCHHQZgCTqTXRnIyxDWgTOGpqtSinEuevCQYWMU9f7E/s1600/pgs+hip1.JPG

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirRi3Or3kr6qXnLHZ4NSfBhx4K6I5GraONKMoAjqDlbwHZn3jZNPWTjiv_42sxWcdMsL34JgnV7gS55x2Rm8v-l1FCSthwz1HRmmEggW_O2XBU5MHQzr__4amoHLh9aydMFgy2W40qaL8/s1600/pgs+hip2.JPG

Penerapan Hiperbola

Perkembangan ilmu pengetahuan telah membuat hiperbola sebagai bentuk dalam ilmu geometri yang telah diterapkan dalam kehidupan. Salah satu penerapam dari hiperbola yaitu pada jam matahari.

Kapanpun harinya, matahari selalu berputar tanpa kemajuan pada bola samawi, dan leretannya membentur titik pada satu jejak jam matahari keluar satu kerucut cahaya.

Dalam ilmu fisika penerapan hiperbola dapat terlihat pada cahaya lampu pada gambar di bawah ini, dimana cahaya yang dihasilkan memiliki pola hiperbola.